Menon de Platão
Neste estudo utilizámos a tradução do Mênon (a partir do grego) de Maura Iglésias do Núcleo de Estudos de Filosofia Antiga, do Departamento de Filosofia - PUC - Rio (Rio de Janeiro), Edições Loyola, São Paulo, Brasil 2001. A autora teve o cuidado de traduzir à letra as partes do texto que têm suscitado mais dúvidas aos tradutores, o que nos permitiu este trabalho de análise.

Elementos para a análise da geometria em
o Ménon de Platão

Évora, 15 de Janeiro de 2011 - Noemio Ramos
       Em Julho de 2008 publicámos as conclusões dos nossos primeiros estudos sobre as obras de Platão, em Gil Vicente e Platão, Arte e Dialéctica, onde apresentámos um resumo com um quadro que expressa a figura (em A República) da linha dividida na vertical, que constitui uma representação esquemática da Teoria do Conhecimento de Platão.[1] Uma teoria que o autor desenvolve senão em toda a sua obra, na maior parte dos seus textos, onde os seus diálogos (que considerámos serem textos didácticos para uso na Academia) constituem uma formulação e expressão da prática teórica que levou o filósofo à análise e construção conceptual daquele esquema da linha dividida na vertical.
       No estudo que publicámos fizemos uma análise sumária do Fedro, do Hípias (Maior e Menor) bem como uma análise completa do Íon, e demonstrámos como Platão desenvolve os seus diálogos seguindo o percurso da sua linha, desde o seu ponto inferior ao seu ponto mais alto, cumprindo os patamares da linha dividida.[2] E no Ménon, o paradigma de construção do texto é o mesmo, não porque o autor se apegue a uma formulação rígida, mas porque pretende exprimir a natureza do desenvolvimento humano do conhecimento e do saber no indivíduo e na sociedade.
       Nos termos de uma “geometria secreta” (Jay Kennedy) da acção dramática do diálogo, parece-nos que este texto de Platão se encontra dividido por uma divisão progressiva da sua linha de desenvolvimento, determinada pela média e extrema razão, conhecida por proporção de ouro, (a mesma proporção que encontramos no Partenon), os momentos temáticos mais importantes, do ponto de vista do tema, a virtude, encontram-se organizados nos segmentos resultantes, assim a divisão do tempo do diálogo tem a ver directamente com a geometria, tal como as analogias que servem de paradigma à análise (exame) da virtude.
     Considerando o indivíduo inseparável da sociedade, Platão considera que o desenvolver do conhecimento humano (indivíduo e sociedade) apresenta quatro grandes momentos, iniciando-se pelo (1) domínio sensível, que corresponde à aquisição de conhecimentos captados do mundo envolvente, incluindo tudo o que se aprende sem se ser ensinado.
      Num segundo momento engloba a assimilação das tradições, as mitologias, os contos, tudo aquilo que é transmitido pela sociedade que envolve o indivíduo, o saber instituído e a cultura de uma sociedade, constitui o (2) domínio da crença (e opinião), o homem faz fé (acredita) no saber que lhe é transmitido. Neste domínio formam-se as opiniões e o senso-comum, logo se instituem os mitos e, segundo a alegoria criada na República, é neste domínio que se constitui a maioria na Caverna.
      Com o advento da reflexão consciente surge o terceiro momento, o inteligível, (3) o domínio do racional, do entendimento, da lógica-matemática e da ciência. No desenvolvimento deste momento deve haver aprendizagem orientada pela reflexão, é onde pode intervir o ensino, onde se estabelecem (ou convencionam) princípios, argumentos e se constroem emaranhados de raciocínios baseados em hipóteses, concepções mais vastas (como a sua república) que Platão apelida de sonhos da razão.
      Por último, a clarividência, o (4) domínio da dialéctica, a (a) Sabedoria (sabedoria primeira), do (b) Belo (o Belo realizado pelo homem, a Arte) e do (c) supremo Bem (que Platão define como a Justiça distributiva), que deverá ser atingido por tomada de consciência (iluminação, clarividência) após percorrer todos os domínios anteriores, esgotando as hipóteses semelhantes ou contraditórias do racional.
       Os quatro domínios são representados na linha dividida na vertical, progredindo do sensível, o primeiro em baixo, ascendendo ao segundo, a crença, constituindo estes dois, a parte mais curta da linha: o mundo sensível; ao qual se segue o inteligível, com a razão (lógica-matemática) na noética inferior e, por fim, a noética superior a sabedoria primeira (a dialéctica). Contudo, como Platão demonstra nas suas obras, estes compartimentos (as divisões da linha) não são estanques, a cada passo são solicitados os precedentes.
      Para alcançar o domínio da dialéctica é imprescindível assegurar uma verdadeira progressão, uma ascensão na linha dividida na vertical, retornando ao início sempre que necessário e, obrigatoriamente, após o esgotar de todas as hipóteses do domínio racional, analisando de novo o assunto tratado, voltando a percorrer a linha desde o seu nível mais baixo, o instinto, o sentido afectivo, o desejo, o sensível, etc..
       Assim se desenvolve o texto do Ménon e, nele, a geometria serve como modelo para a investigação do tema em causa, a virtude. Na geometria se encontram os paradigmas do exame (análise) nos domínios da aparência sensível, da crença e do racional, incluindo a excelência do racional.
       De salientar que o domínio do racional (da lógica-matemática e ciências) ocupa a parte central da linha, constituindo o núcleo da consciência humana e, por isso é importante sublinhar a mitologia que envolve o domínio da crença entre os gregos (Sócrates), o mito de Er (República), a teoria da reminiscência ou da rememoração (Fenon, Menon, etc.) e, sobre isso, devemos deixar umas curtas linhas.
      Aquilo que se etiquetou de inconsciente, subconsciente, assim como os instintos e restantes manifestações das vivências do homem, não evocáveis à sua consciência, incluindo aquelas em que o ser humano mais se assemelha aos animais, bem como o desenvolvimento natural (aprendizagem) do homem em família e na sociedade, o seu macrocosmo do comportamento da vida humana e social, foi explicado, por parte dos gregos, através daquela mitologia (rememoração), que Sócrates adopta - pelas obras de Platão - em diversos dos seus diálogos. Estas formas mitológicas de “explicação” foram progressivamente substituídas por explicações mais recentes e mais elaboradas e, em determinado ponto da História humana, alcançaram o domínio do racional passando a explicações científicas.
      Contudo, não esquecendo que tais “explicações” (as mitologias) correspondem exactamente à mesma realidade humana e social que as nossas explicações científicas, devemos observar, portanto, os textos mitológicos (na sua letra) pela realidade que eles pretendem explicar (o seu sentido) figurando as suas manifestações, sem nos fixarmos nas formas mitológicas cristalizadas, mas antes, naquilo (o significado real) que elas pretendem representar.
      No Ménon Platão oferece-nos de modo exemplar, rigorosamente objectivo, uma relação biunívoca entre a mitologia (rememoração) e a realidade que ela pretende representar: o episódio com o servo de Ménon, e mais, exactamente no momento do diálogo da passagem da crença ao racional. Onde, o momento do racional serve a Sócrates para mostrar a realidade da crença, isto é, demonstrar ao leitor o sentido mais exacto do mito da rememoração.
        Sócrates inicia a “explicação” da rememoração com a chamada do servo de Ménon, mas logo pergunta: Ele é grego? E fala grego? E a resposta confirma ser ele um jovem nascido na casa. Ficou assim confirmada a sua vivência cultural, a aquisição da linguagem e a assimilação dos comportamentos e conhecimentos práticos, da vida em sociedade e do exercício de alguma actividade. Tudo aquilo que se aprende por natureza, sem necessidade de ensino, o que inclui a fala, as estruturas da linguagem, o saber enumerar e resolver algumas operações rudimentares, entre outras coisas, mas não inclui aquilo que necessita ser ensinado, a leitura e escrita, a geometria e aritmética, etc..
       Com o trazer à consciência do jovem os conhecimentos assimilados pela sua vivência cultural prática ("vida anterior da alma"), Platão coloca Sócrates a demonstrar que o jovem nunca tinha tido consciência daquele saber, e que, confrontado com essa consciência, fica (inconscientemente) confiante no seu saber. Há então que demonstrar que afinal ele não sabe, e que precisa ter consciência que não sabe, para assim criar o desejo, o interesse por querer vir a saber e, desse modo, ficar apto a aprender.   
       A “explicação” decorre com a duplicação da superfície de um quadrado, problema que aborda, em parte o “método de demonstração” do que chamamos “teorema de Pitágoras”. Na tradução, ou melhor, nas observações à tradução, temos encontrado imprecisões que, do ponto de vista de Platão, seriam erros de palmatória, porque ninguém entraria na sua Academia sem saber a geometria.
       A demonstração implicou quadruplicar a área dada de início, para, de seguida, considerar a metade do total, obtendo a duplicação da área da primeira figura. Isto é, o processo intuitivo determina a metade, passa por traçar no quadrado as diagonais e medianas e, a partir destas, dos pontos médios dos lados inscrever um quadrado no primeiro, onde as medianas do primeiro são as diagonais do segundo.
        Esta questão merece um parêntesis na análise do Ménon para atendermos à demonstração prática (na aritmética) do Teorema de Pitágoras, que mesmo antes daquele tempo serial usual:  (a - b)*(a - b)+ 4ab = (a + b)*(a + b). ...  Com o programa geogebra apresentamos o seu (na antiguidade) uso prático.
... Parece então que é preciso examinar que tipo de coisa é aquilo que não sabemos ainda o que é.
      A segunda questão da geometria, que deve servir de paradigma para o exame da virtude, prende-se com a questão de examinar que tipo de coisa é aquilo que não sabemos ainda o que é, e pela sequência do diálogo, sabemos que o problema geométrico em causa se relaciona com elementos anteriores do diálogo: o redondo e o recto, superfície, figura (geométrica e plana), o desenho realizado em toda a sua construção, quadrados inscritos e circunscritos, medidas comparadas das superfícies...
       Contudo há agora uma diferença substancial, na colocação do problema, Sócrates já não se está a dirigir ao servo, mas a Ménon, dirige-se a quem sabe geometria, para procurar definir que tipo de coisa será aquilo que não sabem ainda o que é. Seguindo o exposto, Sócrates ao referir: a partir de uma hipótese como fazem os geómetras, parece-nos evidente que se refere a um (trisecção do ângulo, quadratura do círculo e duplicaçãodo cubo) dos três grandes problemas gregos da geometria, a quadratura do círculo: a questão é a de saber que tipo de coisa é a relação entre a linha do círculo [perímetro] e o seu diâmetro, que nem sabemos ainda definir o que possa ser.
Assim expomos o nosso parecer:
      No caso não se trata de realizar ou pretender resolver o problema, mas de o saber colocar como hipótese, como fazem os geómetras, o que Platão coloca aqui de forma surpreendente.
      Sócrates refere-se a inscrever esta superfície aqui, refere-se a inscrever uma determinada área num círculo que desenha no momento e, as superfícies em causa no seu desenho eram as superfícies dos quadrados, uma delas o quádruplo (4x) e uma outra com dobro (2x) e, inscrita nesta, outra (1x = 4pés) igual à primeira. Como sabemos, as superfícies dos círculos inscritos e circunscritos a estes quadrados têm, entre si mesmas, as mesmas relações de grandeza que as superfícies dos quadrados têm entre si (4x, 2x, 1x).
      Então Platão terá colocado Sócrates a desenhar um círculo sobre os quadrados, mas não um círculo inscrito ou circunscrito, mas antes de tal dimensão, entre um e outro (sobreposto), referindo: neste círculo aqui.
Comparando então a questão: como no triângulo.
       A formulação da hipótese passa pelo triângulo rectângulo isósceles, com mais rigor, cria uma analogia com as “lunelas de Hipocrates”, cuja demonstração (elementar) era conhecida, onde cada lunela tem exactamente a mesma superfície do triângulo rectângulo isósceles “inscrito”. Qualquer que seja o valor atribuído ao número pi demonstra-se que as superfícies são iguais, o rigor e exactidão da geometria eleva-se ao número.
      A soma das áreas das duas (quatro) lunelas é igual à área do quadrado dado pelos dois (quatro) triângulos. Em cada lunela “inscrita” (superfície sobreposta) ao triângulo, há espaço (área de superfície) em falta e espaço excedente de uma figura em relação à outra, mas, a área de superfície em falta é exactamente igual à área da superfície em excedente, as duas superfícies, lunela e triângulo “inscrito”, são iguais.
       Assim se coloca a hipótese: se esta superfície (do quadrado) for tal que, aplicando-a alguém sobre uma dada linha do círculo (sobre o perímetro do círculo desenhado) ela (a superfície do quadrado) fique em falta (da área em que o círculo a excede) de uma superfície tal como aquela que foi aplicada (como aquela em que a área da superfície do quadrado excede a do círculo, pois a superfície aplicada é a do quadrado). Isto é, em que o défice numa superfície seja igual ao excedente na outra.
       Podemos perceber que este problema modelo é, deveras, uma questão de examinar que tipo de coisa é aquilo que não sabemos ainda o que é, assim, parece-me resultar uma certa consequência, e, por outro lado, outra <consequência>, se é impossível que <a superfície> seja passível disso.
     Com esta questão a servir de paradigma para o estudo da virtude, tomada como a excelência do comportamento do indivíduo perante os seus pares, a sociedade e o Estado, se apresenta neste diálogo de Platão o momento da excelência do racional no processo de desenvolvimento dialéctico da investigação sobre a virtude.
Notas:
       [1]     Em 2010, Jay B. Kennedy da Universidade de Manchester, publicou os seus estudos da obra de Platão, onde afirma ter descoberto os “segredos ocultos” nas obras. Na verdade todas as obras de Platão envolvem um “sentido oculto”, a hiponóia, que o leitor deve alcançar numa leitura aprofundada das obras.
      Esta ideia, além de estar bem expressa nos textos gregos coetâneos de Platão e posteriores, corresponde a uma tradição que não data apenas dos tempos da Academia de Atenas, mas que inclui as obras de Homero, e que tem sido sempre confirmada pelos mais atentos estudiosos, como Vasco de Magalhães-Vilhena expõe em Platão e a Lenda Socrática (ed. Gulbenkian).
      Contudo por “sentido oculto” não podemos entender a hipótese avançada por Jay Kennedy (uma ideia em tudo semelhante à ideia da “geometria secreta dos pintores”) que considera que as ideias nos textos obedecem a uma espécie de cabala de medidas harmónicas relacionadas com as notas musicais.
     Para nós toda a composição pode ser analisada em de termos forma aparente, e é sempre possível encontrarmos uma geometria aproximada das formas. No caso de um texto, a sua leitura desenvolve-se no tempo, e portanto a “geometria” das formas aparentes tem de ser experimentada seguindo uma linha, que Jay Kennedy considerou ser, nas suas análises, as divisões da harmonia musical e da proporção de ouro e, assim, considerar que as ideias importantes para Platão têm de estar no lugar das divisões harmónicas…
       Nós pensamos que essa “geometria secreta”, quando e se existe uma harmonia linear coordenada com as ideias expostas, corresponde, como a “geometria secreta” vista na pintura, a uma consequência do aperfeiçoamento da forma do texto à beleza da acção dramática, ao drama, harmonia e ritmo do desenvolvimento do diálogo, constituindo assim um ponto de chegada e não um ponto de partida do autor. 
       [2]     Por serem textos didácticos, tiveram os cuidados e o aperfeiçoamento constante do autor, ao longo da sua vida, como é referido no Fedro - também Magalhães-Vilhena o observou - e por essa razão, os diálogos apresentam “sentidos ocultos”, que os educandos mais aptos devem atingir em graus diferentes, servindo assim os seus textos como meio didáctico no ensino, de regulação da aprendizagem e de avaliação.
      Conforme Platão expressa no Fedro: os discursos elaborados cuidadosamente e constantemente reescritos, serão simples para as almas simples, e complexos, plenos das mais variadas harmonias, para as almas mais complexas.
15 de Janeiro de 2011
Noémio Ramos
Pela descrição que Platão faz da linha dividida na República, as suas divisões correspondem, com certeza, à divisão pela média e extrema razão, a proporção de ouro.

Sobre a  quadratura do círculo
    
(Em termos correntes, podemos dizer que Sócrates pretende prencher o vazio no interior do perímetro do círculo [a linha do círculo] com a superfície do quadrado, havendo assim, áreas da superfície em falta e em excedente.)

   Pressupõe uma primeira leitura (as necessárias) do Ménon de Platão para se ficar a conhecer a totalidade dessa obra, e depois, a leitura da nossa análise do texto de Platão (aqui em PDF), que também deve ser acompanhada conforme as cotas assinaladas.
   E, por último, o texto que se segue impresso mais à direita e, pela observação e experimentção das questões geométricas pelo Geogebra (www.geogebra.org), o programa que se encontra a ser chamado no início desta página, com as respectivas questões.

   Contudo, este nosso trabalho trata apenas de um tema secundário ao tema do Ménon (a virtude), limita-se assim à geometria / aritmética, que serve a Sócrates como paradigma (e o melhor paradigma) para o desenvolvimento da questão principal desta obra de Platão, a dialéctica (a Sabedoria primeira) no estudo da virtude, significando esta, a excelência do comportamento do indivíduo perante os seus pares, a sociedade e o Estado.


DOMÍNIO da CRENÇA

…dizem que a alma do homem é imortal, e que ora chega ao fim ora nasce de novo…
   (Expõe a seguir parte de um poema de Pindaro que reconta algo como o "mito de Er", o finalizar do Livro X da República de Platão).

      O servo reconhece o que é uma superfície quadrada e que pode ter qualquer tamanho [carácter quantitativo pela superfície da figura]. Que o quadrado tem todos os lados iguais.
     Que as linhas que atravessam pelo meio [têm de ser as diagonais, iguais, para definir a figura como um quadrado] são iguais [portanto, quatro ângulos rectos].
    Que a figura pode ter qualquer tamanho, a sua "medida" depende da escala (bitola) utilizada (pé, ...).
    Se este lado for de dois pés e este de dois [traça então as medianas, usando o ponto médio, o centro da figura]...
      Examina então, se este fosse de dois e por este de um só pé... (etc.)


...a excelência do racional

    "Consente então que se examine a partir de uma hipótese… Por “a partir de uma hipótese” quero dizer a maneira como os geómetras frequentemente conduzem as suas investigações. Quando alguém lhes pergunta, por exemplo sobre uma superfície, se é possível esta superfície aqui ser inscrita como [o] triângulo neste círculo aqui,... 

... um geómetra diria: “Ainda não sei se isso é assim, mas creio ter para essa questão como que uma hipótese útil, qual seja: se esta superfície for tal que, aplicando-a alguém sobre uma dada linha do círculo, ela fique em falta de uma superfície tal como for aquela que foi aplicada, parece-me resultar uma certa consequência, e, por outro lado, outra <consequência>, se é impossível que <a superfície> seja passível disso. Fazendo então uma hipótese, estou disposto a dizer-te o que resulta a propósito da sua inscrição no círculo: se é possível ou não.” 


Lados do triângulo:

( a) = 7 unidades
( b) = 3 unidades

   3 * 7  =  21 quadriculas
21 * 4  = 84 quadriculas

dividindo ao meio cada rectângulo
pela sua diagonal

84 / 2 = 42 quadriculas

  (7 - 3) =  4 unidades
    4 * 4 = 16 quadriculas
16 + 42 = 58 quadriculas

...ou:
  (3 + 7) = 10 unidades
10 * 10 = 100 quadriculas
100 - 42 = 58 quadriculas

...assim:
quadrado  a = 7 * 7 = 49
quadrado  b = 3 * 3 = 9
quadrado
c = 49 + 9 = 58 quadriculas


        Faça a experiência com crianças entre os 8 e 10 anos de idade, com diferentes valores para os lados (a) e (b), mantendo o quadriculado igual a (a + b), e repare como as crianças compreendem bem... 
Uma técnica simples de desenho de duas figuras (círculo e quadrado) com as áreas aproximadas.

A dimensão depende da escala de trabalho.
Observe com atenção as construções geométricas...

Há interacção com o programa geogebra...

Experimente...
Pode carregar o programa, fazer e refazer as suas próprias modificações.

Texto analítico em PDF
Elementos para análise da geometria no Ménon de Platão
Teorema de Pitágoras para crianças
7
3
Gil Vicente O Teatro de Gil Vicente
O Teatro de Gil Vicente
E pera declaração
desta obra santa et cetra...,
quisera dizer quem são
as figuras que virão

por se entender bem a letra.

  ... em  Romagem dos Agravados.
Lendo o Auto da India de Gil Vicente
Ler Erasmo e Gil Vicente

As figuras
nas personagens dos Autos
- os protagonistas -
em Obras


As suas obras dramáticas,
a lista de todos os autos,
em Autos

Datação das obras, dos Autos de Gil Vicente
Gil Vicente, artista da Renascença, reinventor do Teatro


(c) 2008 - Sítio dedicado ao Teatro de Gil Vicente - actualizado com o progresso nas investigações.
GrammarNet

- Livros publicados no âmbito desta investigação, da autoria de Noémio Ramos:

978-989-977499-5 - Gil Vicente, Auto dos Quatro Tempos, Triunfo do Verão - Sagração dos Reis Católicos.
978-989-977498-8 - Gil Vicente, Auto dos Reis Magos, ...(festa) Cavalgada dos Reis.
978-989-977497-1 - Gil Vicente, Auto Pastoril Castelhano, A autobiografia em 1502.
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978-989-977490-2 - Gil Vicente, Tragédia de Liberata, do Templo de Apolo à Divisa de Coimbra.
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978-972-990008-2 - Gil Vicente, Carta de Santarém, 1531 - Sobre o Auto da Índia.
978-972-990007-5 - Gil Vicente, o Velho da Horta, de Sibila Cassandra à "Tragédia da Sepultura".
978-972-990006-8 - Gil Vicente, Auto da Visitação. Sobre as origens.
978-972-990005-1 - Gil Vicente e Platão - Arte e Dialéctica, Íon de Platão.
978-989-977494-0 - Gil Vicente, Auto da Alma, Erasmo, o Enquiridion e Júlio II... 
(2ª Edição)
978-972-990004-4 - Auto da Alma de Gil Vicente, Erasmo, o Enquiridion e Júlio II...

- Outras publicações:
978-972-990000-6 - Francês - Português, Dicionário do Tradutor. - Maria José Santos e A. Soares.
978-972-990002-3 - Os Maios de Olhão e o Auto da Lusitânia de Gil Vicente. - Noémio Ramos.



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